Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x^{3} - 24 x - 9$

Étape 1

Écrivez $y = 2 x^{3} - 24 x - 9$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 9$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 24 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$6 x^{2} - 24 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} - 24 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x^{2} - 24$ et $0$ .

$6 x^{2} - 24$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} - 24$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $12 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 x^{2} - 24 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 24 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$6 x^{2} - 24 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} - 24 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $6 x^{2} - 24$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} - 24$ .

$6 x^{2} - 24$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} - 24 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} - 24 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} = 24$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $6 x^{2} = 24$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x^{2} = 24$ par $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{24}{6}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{24}{6}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{24}{6}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Divisez $24$ par $6$ .

$x^{2} = 4$

Étape 6.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 6.5

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 6.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 6.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 6.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 6.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 6.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 2, - 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (2)$

Étape 10

Multipliez $12$ par $2$ .

$24$

Étape 11

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 24 \cdot 2 - 9$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.2.1.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ .

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Étape 12.2.1.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 24 \cdot 2 - 9$

Étape 12.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2) = 2^{1 + 3} - 24 \cdot 2 - 9$

Étape 12.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (2) = 2^{4} - 24 \cdot 2 - 9$

Étape 12.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = 16 - 24 \cdot 2 - 9$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $2$ .

$f (2) = 16 - 48 - 9$

Étape 12.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 12.2.2.1

Soustrayez $48$ de $16$ .

$f (2) = - 32 - 9$

Étape 12.2.2.2

Soustrayez $9$ de $- 32$ .

$f (2) = - 41$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- 41$ .

$y = - 41$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (- 2)$

Étape 14

Multipliez $12$ par $- 2$ .

$- 24$

Étape 15

$x = - 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} - 24 \cdot - 2 - 9$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 - 24 \cdot - 2 - 9$

Étape 16.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f (- 2) = - 16 - 24 \cdot - 2 - 9$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $- 2$ .

$f (- 2) = - 16 + 48 - 9$

Étape 16.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 16.2.2.1

Additionnez $- 16$ et $48$ .

$f (- 2) = 32 - 9$

Étape 16.2.2.2

Soustrayez $9$ de $32$ .

$f (- 2) = 23$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $23$ .

$y = 23$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 9$ .

$(2, - 41)$ est un minimum local

$(- 2, 23)$ est un maximum local

Étape 18