Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2 x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x - 4$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 4$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2 x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 4 x + 1$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Étape 5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1$ plus $- 3$

$3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1 = 0$

Étape 5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1 = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1 = 0$

Étape 5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 1) - (3 x - 1) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 5.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (\frac{1}{3}) - 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} - 4$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} - 4$

Étape 9.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 - 4$

Étape 9.2

Soustrayez $4$ de $2$ .

$- 2$

Étape 10

$x = \frac{1}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{3}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.2.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 (\frac{1}{9}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.2.7

Associez $- 2$ et $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 2}{9} + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.2.3.1

Multipliez $\frac{2}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $\frac{2}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.3.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 11.2.3.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Étape 11.2.3.5

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Étape 11.2.3.6

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Étape 11.2.3.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{27}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 9}{27}$

Étape 11.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 6 + 9}{27}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 + 9}{27}$

Étape 11.2.5.3

Additionnez $- 5$ et $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $\frac{4}{27}$ .

$y = \frac{4}{27}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (1) - 4$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 - 4$

Étape 13.2

Soustrayez $4$ de $6$ .

$2$

Étape 14

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Étape 15.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2} + 1$

Étape 15.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 + 1$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 2 + 1$

Étape 15.2.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.3.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (1) = - 1 + 1$

Étape 15.2.3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (1) = 0$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ .

$(\frac{1}{3}, \frac{4}{27})$ est un maximum local

$(1, 0)$ est un minimum local

Étape 17