Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 4.1.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x$ .

$2 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x = 0$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2$

Étape 9

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} - 4$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Étape 10.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f (0) = - 4$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} - 4$ .

$(0, - 4)$ est un minimum local

Étape 12