Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [27 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27 x$ par rapport à $x$ est $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $27$ par $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 18 x + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (27)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (27)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 + \frac{d}{d x} (27)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x - 18$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 18$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (27 x)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (27 x)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27 x$ par rapport à $x$ est $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $27$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 18 x + 27$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 18 x + 27$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 27 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 27 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

Étape 5.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 5.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$3 {(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 3)}^{2} = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 3)}^{2} = 0$ par $3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez ${(x - 3)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 5.4

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.5

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (3) - 18$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$18 - 18$

Étape 9.2

Soustrayez $18$ de $18$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 3)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 18 x + 27$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 27$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 27$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 27$

Étape 10.2.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 27$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 27$

Étape 10.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $27$ .

$f' (0) = 27$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $27$ .

$27$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 18 x + 27$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 18 \cdot 6 + 27$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 18 \cdot 6 + 27$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $36$ .

$f' (6) = 108 - 18 \cdot 6 + 27$

Étape 10.3.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $6$ .

$f' (6) = 108 - 108 + 27$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.3.2.2.1

Soustrayez $108$ de $108$ .

$f' (6) = 0 + 27$

Étape 10.3.2.2.2

Additionnez $0$ et $27$ .

$f' (6) = 27$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $27$ .

$27$

Étape 10.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 3$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 11