Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{- 4} \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{- 4}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 1.3

Associez les fractions.

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Étape 1.3.1

Associez $x^{- 4}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 1.3.2

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 1.4

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 1.4.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 1.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 1.6.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 1.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 1.6.2.4

Associez $\ln (x)$ et $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 1.6.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $\ln (x)$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{\ln (x)}{x^{5}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{5}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.5

Associez $x^{5}$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{5}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{4}}{1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.6.2.5

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 2.2.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{5 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.9

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}$ .

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Étape 2.2.9.1

Multipliez par $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.9.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $- 5 \ln (x) x^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.9.3

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.10.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{10}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.10.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.10.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 4 \frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.11

Associez $- 4$ et $\frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

Étape 2.3.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{- 10} (5 x^{4})$

Étape 2.3.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 10} x^{4}$

Étape 2.3.6

Multipliez $x^{- 10}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.6.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

Étape 2.3.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{4 - 10}$

Étape 2.3.6.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 6}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Étape 2.4.3.3

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{- 5}{x^{6}}$

Étape 2.4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - \frac{5}{x^{6}}$

Étape 2.4.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{- (4 - 20 \ln (x)) - 5}{x^{6}}$

Étape 2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{- 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Étape 2.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 - (4 - 20 \ln (x))$ .

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Étape 2.4.5.1.1

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Étape 2.4.5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (4 - 20 \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Étape 2.4.5.1.3

Réécrivez $- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))$ comme $- (5 + 4 - 20 \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{- (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Étape 2.4.5.2

Additionnez $5$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{- (9 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Étape 2.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{9 - 20 \ln (x)}{x^{6}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 4.1.3

Associez les fractions.

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Étape 4.1.3.1

Associez $x^{- 4}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 4.1.3.2

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 4.1.4

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 4.1.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 4.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 4.1.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 4.1.6.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 4.1.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 4.1.6.2.4

Associez $\ln (x)$ et $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 4.1.6.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $\frac{1}{x^{5}}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{5}}$

Étape 5.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$- 4 \ln (x) = - 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $- 4 \ln (x) = - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \ln (x) = - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (x) = \frac{1}{4}$

Étape 5.5

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{4}}$

Étape 5.6

Réécrivez $\ln (x) = \frac{1}{4}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4}} = x$

Étape 5.7

Réécrivez l’équation comme $x = e^{\frac{1}{4}}$ .

$x = e^{\frac{1}{4}}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{5} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[5]{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\sqrt[5]{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6.3

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 6.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = e^{\frac{1}{4}}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = e^{\frac{1}{4}}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{9 - 20 \ln (e^{\frac{1}{4}})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{1}{4}$ de l’exposant.

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \ln (e))}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Étape 9.1.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \cdot 1)}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Étape 9.1.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$- \frac{9 + 4 (- 5) \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Étape 9.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9 + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Étape 9.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9 - 5}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Étape 9.1.5

Soustrayez $5$ de $9$ .

$- \frac{4}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Étape 9.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{4}})}^{6}$ .

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Étape 9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{4} \cdot 6}}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 6}}$

Étape 9.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

Étape 9.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

Étape 9.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 3}}$

Étape 9.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10

$x = e^{\frac{1}{4}}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = e^{\frac{1}{4}}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = e^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $e^{\frac{1}{4}}$ dans l’expression.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = {(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4}$ .

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot - 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Étape 11.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Étape 11.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Étape 11.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Étape 11.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Étape 11.2.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{1}{4}$ de l’exposant.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

Étape 11.2.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)$

Étape 11.2.5

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 11.2.6

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{1}{4}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e \cdot 4}$

Étape 11.2.7

Déplacez $4$ à gauche de $e$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4 e}$

Étape 11.2.8

La réponse finale est $\frac{1}{4 e}$ .

$y = \frac{1}{4 e}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{- 4} \ln (x)$ .

$(e^{\frac{1}{4}}, \frac{1}{4 e})$ est un maximum local

Étape 13