Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Step 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \cdot 1$

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8$

Step 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Step 4

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{2}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (2 x)$

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 8 x$ .

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Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Factorisez $4 x$ à partir de $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Résolvez $x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Prenez la racine carrée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x^{2} - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0)}^{2} - 8$

Step 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Simplifiez chaque terme.

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L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0 - 8$

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 - 8$

Soustrayez $8$ de $0$ .

$- 8$

Step 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Step 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Step 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(\sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Simplifiez chaque terme.

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Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Réécrivez l’expression.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Évaluez l’exposant.

$12 \cdot 2 - 8$

Multipliez $12$ par $2$ .

$24 - 8$

Soustrayez $8$ de $24$ .

$16$

Step 14

$x = \sqrt{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{2}$ est un minimum local

Step 15

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

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Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8$

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4$

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Step 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- \sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Simplifiez chaque terme.

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Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$12 {\sqrt{2}}^{2} - 8$

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Réécrivez l’expression.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Évaluez l’exposant.

$12 \cdot 2 - 8$

Multipliez $12$ par $2$ .

$24 - 8$

Soustrayez $8$ de $24$ .

$16$

Step 18

$x = - \sqrt{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{2}$ est un minimum local

Step 19

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

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Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Multipliez ${\sqrt{2}}^{4}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 8$

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4$

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Step 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ .

$(0, 0)$ est un maximum local

$(\sqrt{2}, - 4)$ est un minimum local

$(- \sqrt{2}, - 4)$ est un minimum local

Step 21