Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 2 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 4 x + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 4 x$ et $0$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 2 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 4 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 4 x$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Étape 5.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez.

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Étape 5.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 5.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0)}^{2} - 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0 - 4$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 - 4$

Étape 9.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2} + 1$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2} + 1$

Étape 11.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 1$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- 1)}^{2} - 4$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 1 - 4$

Étape 13.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 - 4$

Étape 13.2

Soustrayez $4$ de $12$ .

$8$

Étape 14

$x = - 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{2} + 1$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot 1 + 1$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 + 1$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 1$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- 1) = 0$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(1)}^{2} - 4$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 \cdot 1 - 4$

Étape 17.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 - 4$

Étape 17.2

Soustrayez $4$ de $12$ .

$8$

Étape 18

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2} + 1$

Étape 19.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 + 1$

Étape 19.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 2 + 1$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (1) = - 1 + 1$

Étape 19.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (1) = 0$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ .

$(0, 1)$ est un maximum local

$(- 1, 0)$ est un minimum local

$(1, 0)$ est un minimum local

Étape 21