Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 - 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 1.3.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 1.3.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 1.3.9

Associez $- 36$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 1.3.10

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.3.11

Factorisez $3$ à partir de $- 36$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.12.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 1.3.12.2

Annulez le facteur commun.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.3.12.3

Réécrivez l’expression.

$3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 2.2.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 2.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 2.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 2.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Étape 2.2.9.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Étape 2.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Étape 2.2.11

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Étape 2.2.12

Associez $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 2.2.13

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $x^{- \frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.13.1

Déplacez $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Étape 2.2.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Étape 2.2.13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Étape 2.2.13.4

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Étape 2.2.13.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Étape 2.2.14

Placez $x^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Étape 2.2.15

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 0 + 12 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Étape 2.2.16

Associez $12$ et $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{12 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.17

Multipliez $12$ par $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{24}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.19.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (x^{\frac{5}{3}})}$

Étape 2.2.19.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.19.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 0 + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = 3 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 - 36 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 4.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 4.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 4.1.3.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 4.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 4.1.3.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 4.1.3.9

Associez $- 36$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 4.1.3.10

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.3.11

Factorisez $3$ à partir de $- 36$ .

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.12.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 4.1.3.12.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.3.12.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ par $x^{\frac{2}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 12 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ .

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $x^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 12}{- 3}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

Divisez $- 12$ par $- 3$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Étape 5.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 5.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 5.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.5.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.4.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.5.4.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.5.4.1.1.2

Simplifiez

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.5.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 5.5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 5.5.4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm 2^{3}$

Étape 5.5.4.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$x = \pm 8$

Étape 5.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8$

Étape 5.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8$

Étape 5.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8, - 8$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$3 - \frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.3.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.3.3.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 8, - 8, 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 8$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{8}{{(8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Placez $8^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{{(8)}^{\frac{5}{3}} \cdot 8^{- 1}}$

Étape 9.2

Multipliez ${(8)}^{\frac{5}{3}}$ par $8^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1}}$

Étape 9.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Étape 9.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Étape 9.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Étape 9.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 3}{3}}}$

Étape 9.2.5.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$\frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 9.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 9.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2^{2}}$

Étape 9.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 10

$x = 8$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 8$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 8$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f (8) = 3 (8) - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (8) = 24 - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (8) = 24 - 36 {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 11.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

Étape 11.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $- 36$ par $2$ .

$f (8) = 24 - 72$

Étape 11.2.2

Soustrayez $72$ de $24$ .

$f (8) = - 48$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 48$ .

$y = - 48$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 8$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{8}{{(- 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1.1

Réécrivez $- 8$ comme ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{8}{{({(- 2)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 13.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 13.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 13.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{{(- 2)}^{5}}$

Étape 13.1.4

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$\frac{8}{- 32}$

Étape 13.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $- 32$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\frac{8 (1)}{- 32}$

Étape 13.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 32$ .

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

Étape 13.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

Étape 13.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 4}$

Étape 13.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 14

$x = - 8$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 8$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 8$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f (- 8) = 3 (- 8) - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 15.2.1.2

Réécrivez $- 8$ comme ${(- 2)}^{3}$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 15.2.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 15.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 15.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

Étape 15.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

Étape 15.2.1.6

Multipliez $- 36$ par $- 2$ .

$f (- 8) = - 24 + 72$

Étape 15.2.2

Additionnez $- 24$ et $72$ .

$f (- 8) = 48$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $48$ .

$y = 48$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{8}{{(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 17.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{8}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 17.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 17.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 17.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{0^{5}}$

Étape 17.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{8}{0}$

Étape 17.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 18

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 18.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Étape 18.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 10$ , de l’intervalle $(- \infty, - 8)$ dans la dérivée première $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 10$ dans l’expression.

$f' (- 10) = 3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.2.2

La réponse finale est $3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- 8, 0)$ dans la dérivée première $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.3.2

La réponse finale est $3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(0, 8)$ dans la dérivée première $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 3 - \frac{12}{{(4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (4) = 3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.4.2.2

La réponse finale est $3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.5

Remplacez tout nombre, tel que $10$ , de l’intervalle $(8, \infty)$ dans la dérivée première $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.5.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f' (10) = 3 - \frac{12}{{(10)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (10) = 3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.5.2.2

La réponse finale est $3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - 8$ , $x = - 8$ est un maximum local.

$x = - 8$ est un maximum local

Étape 18.7

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 18.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 8$ , $x = 8$ est un minimum local.

$x = 8$ est un minimum local

Étape 18.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - 8$ est un maximum local

$x = 8$ est un minimum local

$x = - 8$ est un maximum local

$x = 8$ est un minimum local

Étape 19