Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$15 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$15 x^{4} - 20 x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{4} - 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 x^{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 20 x^{3}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $15 x^{4} - 20 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 20 x^{3}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $5 x^{3}$ à partir de $15 x^{4} - 20 x^{3}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $5 x^{3}$ à partir de $15 x^{4}$ .

$5 x^{3} (3 x) - 20 x^{3} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $5 x^{3}$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$5 x^{3} (3 x) + 5 x^{3} (- 4) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $5 x^{3}$ à partir de $5 x^{3} (3 x) + 5 x^{3} (- 4)$ .

$5 x^{3} (3 x - 4) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$3 x - 4 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $3 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 x^{3} (3 x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$60 {(0)}^{3} - 60 {(0)}^{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$60 \cdot 0 - 60 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.2

Multipliez $60$ par $0$ .

$0 - 60 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 60 \cdot 0$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 60$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $15 x^{4} - 20 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 20 {(- 2)}^{3}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 20 {(- 2)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $15$ par $16$ .

$f' (- 2) = 240 - 20 {(- 2)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = 240 - 20 \cdot - 8$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = 240 + 160$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $240$ et $160$ .

$f' (- 2) = 400$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $400$ .

$400$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, \frac{4}{3})$ dans la dérivée première $15 x^{4} - 20 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 15 {(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 20 {(1)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $15$ par $1$ .

$f' (1) = 15 - 20 {(1)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 15 - 20 \cdot 1$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$f' (1) = 15 - 20$

Étape 10.3.2.2

Soustrayez $20$ de $15$ .

$f' (1) = - 5$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $- 5$ .

$- 5$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(\frac{4}{3}, \infty)$ dans la dérivée première $15 x^{4} - 20 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 20 {(4)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $15$ par $256$ .

$f' (4) = 3840 - 20 {(4)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f' (4) = 3840 - 20 \cdot 64$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $64$ .

$f' (4) = 3840 - 1280$

Étape 10.4.2.2

Soustrayez $1280$ de $3840$ .

$f' (4) = 2560$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $2560$ .

$2560$

Étape 10.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{4}{3}$ , $x = \frac{4}{3}$ est un minimum local.

$x = \frac{4}{3}$ est un minimum local

Étape 10.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{4}$ .

$x = 0$ est un maximum local

$x = \frac{4}{3}$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = \frac{4}{3}$ est un minimum local

Étape 11