Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 18$ .

$12 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{3} - 36 x + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $12 x^{3} - 36 x$ et $0$ .

$12 x^{3} - 36 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 36 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 36$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$12 x^{3} - 36 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $12 x^{3} - 36 x$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} - 36 x$ .

$12 x^{3} - 36 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} - 36 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} - 36 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3} - 36 x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 36 x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $- 36 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 3) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 3)$ .

$12 x (x^{2} - 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 5.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 5.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 5.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 5.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(0)}^{2} - 36$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$36 \cdot 0 - 36$

Étape 9.1.2

Multipliez $36$ par $0$ .

$0 - 36$

Étape 9.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$- 36$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 18 {(0)}^{2} + 15$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 18 {(0)}^{2} + 15$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 18 {(0)}^{2} + 15$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 15$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 18$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 15$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 15$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $15$ .

$f (0) = 15$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $15$ .

$y = 15$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(\sqrt{3})}^{2} - 36$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 13.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 36$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 36$

Étape 13.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 36$

Étape 13.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 36$

Étape 13.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$36 \cdot 3^{1} - 36$

Étape 13.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$36 \cdot 3 - 36$

Étape 13.1.2

Multipliez $36$ par $3$ .

$108 - 36$

Étape 13.2

Soustrayez $36$ de $108$ .

$72$

Étape 14

$x = \sqrt{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{3}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{3}) = 3 {(\sqrt{3})}^{4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 15.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 15.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 15.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 15.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 15.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 15.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 15.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 15.2.1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.1.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 15.2.1.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 15.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\sqrt{3}) = 3^{1 + 2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 15.2.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 3^{3} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 15.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 15.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 15.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15$

Étape 15.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15$

Étape 15.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Étape 15.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Étape 15.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Étape 15.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 54 + 15$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.2.1

Soustrayez $54$ de $27$ .

$f (\sqrt{3}) = - 27 + 15$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $- 27$ et $15$ .

$f (\sqrt{3}) = - 12$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$y = - 12$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(- \sqrt{3})}^{2} - 36$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$36 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) - 36$

Étape 17.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$36 (1 {\sqrt{3}}^{2}) - 36$

Étape 17.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$36 {\sqrt{3}}^{2} - 36$

Étape 17.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 36$

Étape 17.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 36$

Étape 17.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 36$

Étape 17.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 36$

Étape 17.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$36 \cdot 3^{1} - 36$

Étape 17.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$36 \cdot 3 - 36$

Étape 17.1.5

Multipliez $36$ par $3$ .

$108 - 36$

Étape 17.2

Soustrayez $36$ de $108$ .

$72$

Étape 18

$x = - \sqrt{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{3}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = 3 {(- \sqrt{3})}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 (1 {\sqrt{3}}^{4}) - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 {\sqrt{3}}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 19.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 19.2.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.5

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.2.1.5.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 19.2.1.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \sqrt{3}) = 3^{1 + 2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3^{3} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 15$

Étape 19.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 15$

Étape 19.2.1.9

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 {\sqrt{3}}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 19.2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15$

Étape 19.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15$

Étape 19.2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Étape 19.2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Étape 19.2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Étape 19.2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Étape 19.2.1.11

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 54 + 15$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.2.1

Soustrayez $54$ de $27$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 27 + 15$

Étape 19.2.2.2

Additionnez $- 27$ et $15$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 12$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$y = - 12$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$ .

$(0, 15)$ est un maximum local

$(\sqrt{3}, - 12)$ est un minimum local

$(- \sqrt{3}, - 12)$ est un minimum local

Étape 21