Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 10} \frac{x^{2} + 10 x}{(x^{2} + 100) (x + 10)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 10} x^{2} + 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 10 lim_{x \to - 10} x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $- 10$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 10$ pour $x$ .

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 lim_{x \to - 10} x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 10$ pour $x$ .

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 \cdot - 10}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$\frac{100 + 10 \cdot - 10}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Étape 1.1.2.5.1.2

Multipliez $10$ par $- 10$ .

$\frac{100 - 100}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $100$ de $100$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} x^{2} + 100 \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Étape 1.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $100$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Étape 1.1.3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 10)}$

Étape 1.1.3.6

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + 10)}$

Étape 1.1.3.7

Évaluez les limites en insérant $- 10$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 10$ pour $x$ .

$\frac{0}{({(- 10)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + 10)}$

Étape 1.1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 10$ pour $x$ .

$\frac{0}{({(- 10)}^{2} + 100) \cdot (- 10 + 10)}$

Étape 1.1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.8.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{(100 + 100) \cdot (- 10 + 10)}$

Étape 1.1.3.8.2

Additionnez $100$ et $100$ .

$\frac{0}{200 \cdot (- 10 + 10)}$

Étape 1.1.3.8.3

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$\frac{0}{200 \cdot 0}$

Étape 1.1.3.8.4

Multipliez $200$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.8.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 10} \frac{x^{2} + 10 x}{(x^{2} + 100) (x + 10)} = lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 10 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 100$ et $g (x) = x + 10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Étape 1.3.8

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Étape 1.3.10

Multipliez $x^{2} + 100$ par $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Étape 1.3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 100$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100])}$

Étape 1.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [100])}$

Étape 1.3.13

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x + 0)}$

Étape 1.3.14

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x)}$

Étape 1.3.15

Déplacez $2$ à gauche de $x + 10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 \cdot (x + 10) x}$

Étape 1.3.16

Simplifiez

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Étape 1.3.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (2 x + 2 \cdot 10) x}$

Étape 1.3.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x \cdot x + 2 \cdot 10 x}$

Étape 1.3.16.3

Associez des termes.

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Étape 1.3.16.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 10 x}$

Étape 1.3.16.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 10 x}$

Étape 1.3.16.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 10 x}$

Étape 1.3.16.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{2} + 2 \cdot 10 x}$

Étape 1.3.16.3.5

Multipliez $2$ par $10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{2} + 20 x}$

Étape 1.3.16.3.6

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{3 x^{2} + 100 + 20 x}$

Étape 1.3.16.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{3 x^{2} + 20 x + 100}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} 2 x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} 2 x + lim_{x \to - 10} 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Étape 2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Étape 2.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Étape 2.7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Étape 2.8

Placez le terme $20$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 100}$

Étape 2.9

Évaluez la limite de $100$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 10$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $- 10$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 10$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 10$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 10$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$\frac{- 20 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Étape 4.1.2

Additionnez $- 20$ et $10$ .

$\frac{- 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 10}{3 \cdot 100 + 20 \cdot - 10 + 100}$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $100$ .

$\frac{- 10}{300 + 20 \cdot - 10 + 100}$

Étape 4.2.3

Multipliez $20$ par $- 10$ .

$\frac{- 10}{300 - 200 + 100}$

Étape 4.2.4

Soustrayez $200$ de $300$ .

$\frac{- 10}{100 + 100}$

Étape 4.2.5

Additionnez $100$ et $100$ .

$\frac{- 10}{200}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $200$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $10$ à partir de $- 10$ .

$\frac{10 (- 1)}{200}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $10$ à partir de $200$ .

$\frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 20}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 20}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{20}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{20}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{20}$

Forme décimale :

$- 0.05$