Calcul infinitésimal Exemples

lim_{x \to \infty} \frac{1 - x^{2}}{2 x}

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de

x

$x$ dans le dénominateur, qui est

x

$x$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x^{2}}{x}}{\frac{2 x}{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x^{2}}{x}}{\frac{2 x}{x}}$

Étape 2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun à

x^{2}

$x^{2}$ et

x

$x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez

x

$x$ à partir de

x^{2}

$x^{2}$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x \cdot x}{x}}{\frac{2 x}{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x \cdot x}{x}}{\frac{2 x}{x}}$

Étape 2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.1

Élevez

x

$x$ à la puissance

1

$1$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}{\frac{2 x}{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}{\frac{2 x}{x}}$

Étape 2.1.2.2

Factorisez

x

$x$ à partir de

x^{1}

$x^{1}$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\frac{2 x}{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\frac{2 x}{x}}$

Étape 2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\frac{2 x}{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}{\frac{2 x}{x}}$

Étape 2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{1}}{\frac{2 x}{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{1}}{\frac{2 x}{x}}$

Étape 2.1.2.5

Divisez

x

$x$ par

1

$1$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{\frac{2 x}{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{\frac{2 x}{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{\frac{2 x}{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{\frac{2 x}{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{\frac{2 x}{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{\frac{2 x}{x}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de

x

$x$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{\frac{2 x}{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{\frac{2 x}{x}}$

Étape 2.2.2

Divisez

2

$2$ par

1

$1$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{2}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{2}$

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{2}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{2}$

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{2}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - x}{2}$

Étape 3

Lorsque

x

$x$ approche de

\infty

$\infty$ , la fraction

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ approche de

0

$0$ .

lim_{x \to \infty} \frac{0 - x}{2}

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - x}{2}$

Étape 4

Comme son numérateur n’a pas de borne lorsque son dénominateur approche d’un nombre constant, la fraction

\frac{0 - x}{2}

$\frac{0 - x}{2}$ approche de l’infini négatif.

- \infty

$- \infty$