Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{{(4 + x)}^{2} - 16}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} {(4 + x)}^{2} - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(4 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de ${(4 + x)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 4 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(4 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(4 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{{(4 + 0)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{{(4 + x)}^{2} - 16}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 + x)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 + x)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Réécrivez ${(4 + x)}^{2}$ comme $(4 + x) (4 + x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(4 + x) (4 + x) - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Développez $(4 + x) (4 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 (4 + x) + x (4 + x) - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x) - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 + 4 x + 4 x + x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 + 8 x + x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 + 8 x + x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.6

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 1.3.7.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.7.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 8 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 8 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 8 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.10

Simplifiez

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Étape 1.3.10.1

Associez des termes.

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Étape 1.3.10.1.1

Additionnez $0$ et $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.10.1.2

Additionnez $8 + 2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 + 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 8}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 8}{1}$

Étape 1.4

Divisez $2 x + 8$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 x + 8$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 8$

Étape 2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 8$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 lim_{x \to 0} x + 8$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cdot 0 + 8$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 8$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$8$