Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 4 x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 4 x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{2} - 4 lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{2} - 4 \cdot 3 + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9 - 4 \cdot 3 + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{9 - 12 + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $12$ de $9$ .

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 1.1.2.6.3

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 8 x + lim_{x \to 3} 15}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 8 x + lim_{x \to 3} 15}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 15}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $15$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 3} x + 15}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{0}{3^{2} - 8 lim_{x \to 3} x + 15}$

Étape 1.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{0}{3^{2} - 8 \cdot 3 + 15}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{9 - 8 \cdot 3 + 15}$

Étape 1.1.3.6.1.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{0}{9 - 24 + 15}$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $24$ de $9$ .

$\frac{0}{- 15 + 15}$

Étape 1.1.3.6.3

Additionnez $- 15$ et $15$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 8 x + 15} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Étape 1.3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [15]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [15]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 1.3.9.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]}$

Étape 1.3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]}$

Étape 1.3.9.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{2 x - 8 + \frac{d}{d x} [15]}$

Étape 1.3.10

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{2 x - 8 + 0}$

Étape 1.3.11

Additionnez $2 x - 8$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{2 x - 8}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $2 x - 4$ et $2 x - 8$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x) - 4}{2 x - 8}$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 x - 8}$

Étape 1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 2)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x - 2)}{2 x - 8}$

Étape 1.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x - 2)}{2 (x) - 8}$

Étape 1.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x - 2)}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 1.4.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x - 2)}{2 (x - 4)}$

Étape 1.4.4.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x - 2)}{2 (x - 4)}$

Étape 1.4.4.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 3} \frac{x - 2}{x - 4}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 2}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 4}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 2}{3 - 1 \cdot 4}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 - 2}{3 - 1 \cdot 4}$

Étape 4.1.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3 - 1 \cdot 4}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{3 - 4}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{1}{- 1}$

Étape 4.3

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- 1$