Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} {(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$ comme $e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})$ en déplaçant $\frac{2}{x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Étape 2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Étape 2.6

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + 1)}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Étape 2.8

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Étape 2.9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$e^{2 \frac{1}{2 (4)} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$e^{2 \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Étape 4.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (e^{8} + 1)$ .

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Forme décimale :

$7.38967570 \dots$