Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} {(\frac{1 - x^{4}}{x^{2} + 5 x})}^{7}$

Étape 1

Déplacez l’exposant $7$ de ${(\frac{1 - x^{4}}{x^{2} + 5 x})}^{7}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to - 8} \frac{1 - x^{4}}{x^{2} + 5 x})}^{7}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

${(\frac{lim_{x \to - 8} 1 - x^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 5 x})}^{7}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

${(\frac{lim_{x \to - 8} 1 - lim_{x \to - 8} x^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 5 x})}^{7}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

${(\frac{1 - lim_{x \to - 8} x^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 5 x})}^{7}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(\frac{1 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 5 x})}^{7}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

${(\frac{1 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 5 x})}^{7}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(\frac{1 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 5 x})}^{7}$

Étape 8

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

${(\frac{1 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 8} x})}^{7}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

${(\frac{1 - {(- 8)}^{4}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 8} x})}^{7}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

${(\frac{1 - {(- 8)}^{4}}{{(- 8)}^{2} + 5 lim_{x \to - 8} x})}^{7}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

${(\frac{1 - {(- 8)}^{4}}{{(- 8)}^{2} + 5 \cdot - 8})}^{7}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

${(\frac{1 - 1 \cdot 4096}{{(- 8)}^{2} + 5 \cdot - 8})}^{7}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 1$ par $4096$ .

${(\frac{1 - 4096}{{(- 8)}^{2} + 5 \cdot - 8})}^{7}$

Étape 10.1.3

Soustrayez $4096$ de $1$ .

${(\frac{- 4095}{{(- 8)}^{2} + 5 \cdot - 8})}^{7}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

${(\frac{- 4095}{64 + 5 \cdot - 8})}^{7}$

Étape 10.2.2

Multipliez $5$ par $- 8$ .

${(\frac{- 4095}{64 - 40})}^{7}$

Étape 10.2.3

Soustrayez $40$ de $64$ .

${(\frac{- 4095}{24})}^{7}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun à $- 4095$ et $24$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 4095$ .

${(\frac{3 (- 1365)}{24})}^{7}$

Étape 10.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

${(\frac{3 \cdot - 1365}{3 \cdot 8})}^{7}$

Étape 10.3.2.2

Annulez le facteur commun.

${(\frac{3 \cdot - 1365}{3 \cdot 8})}^{7}$

Étape 10.3.2.3

Réécrivez l’expression.

${(\frac{- 1365}{8})}^{7}$

Étape 10.4

Placez le signe moins devant la fraction.

${(- \frac{1365}{8})}^{7}$

Étape 10.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 10.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1365}{8}$ .

${(- 1)}^{7} {(\frac{1365}{8})}^{7}$

Étape 10.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1365}{8}$ .

${(- 1)}^{7} \frac{1365^{7}}{8^{7}}$

Étape 10.6

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$- \frac{1365^{7}}{8^{7}}$

Étape 10.7

Élevez $1365$ à la puissance $7$ .

$- \frac{8829346479175290000000}{8^{7}}$

Étape 10.8

Élevez $8$ à la puissance $7$ .

$- \frac{8829346479175290000000}{2097152}$

Étape 10.9

Annulez le facteur commun à $8829346479175290000000$ et $2097152$ .

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Étape 10.9.1

Factorisez $128$ à partir de $8829346479175290000000$ .

$- \frac{128 (68979269368556953125)}{2097152}$

Étape 10.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.9.2.1

Factorisez $128$ à partir de $2097152$ .

$- \frac{128 \cdot 68979269368556953125}{128 \cdot 16384}$

Étape 10.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{128 \cdot 68979269368556953125}{128 \cdot 16384}$

Étape 10.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{68979269368556953125}{16384}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{68979269368556953125}{16384}$

Forme décimale :

$- 4.21016048 \cdot 10^{15}$