Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 4.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$