Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ comme $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ en déplaçant $\cot (x)$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$

Étape 2

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (1 + x)}$

Étape 3

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (1 + x)$

Étape 4

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\cot (x) \ln (1 + x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ - 0.1 & 1.05009079 \\ - 0.01 & 1.00500008 \\ - 0.001 & 1.0005 \\ - 0.0001 & 1.00005 \\ - 0.00001 & 1.00000499 \end{array}$

Étape 5

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $1$ . Ainsi, la limite de $\cot (x) \ln (1 + x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $1$ .

$1$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + x)$

Étape 7

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\cot (x) \ln (1 + x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ 0.1 & 0.94992267 \\ 0.01 & 0.99499991 \\ 0.001 & 0.99949999 \\ 0.0001 & 0.99995 \\ 0.00001 & 0.99999499 \end{array}$

Étape 8

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $1$ . Ainsi, la limite de $\cot (x) \ln (1 + x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $1$ .

$e^{1}$

Étape 9

Simplifiez

$e$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e$

Forme décimale :

$2.71828182 \dots$