Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} = 10$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (10)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.3.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 y^{2} y')$

Étape 2.4.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - 3 y^{2} y'$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - 3 y^{2} y'$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 3 (2 x y y') + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

Étape 2.5.3

Associez des termes.

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 (y x) + 3 (2 x y y') + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

Étape 2.5.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 y x + 6 x y y' + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

Étape 2.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y'$

Étape 3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $3 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2}$

Étape 5.1.3

Ajoutez $6 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} y' + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $- 3 x^{2} y' + 6 x y y' - 3 y^{2} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $- 3 x^{2} y'$ .

$3 y' (- x^{2}) + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $6 x y y'$ .

$3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $- 3 y^{2} y'$ .

$3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y) + 3 y' (- y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.2.4

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y)$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 x y) + 3 y' (- y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.2.5

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' (- x^{2} + 2 x y) + 3 y' (- y^{2})$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.3

Factorisez.

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Étape 5.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.3.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- y^{2}$ et $2 x y$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.3.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.3.1.1.4

Réécrivez $2$ comme $1$ plus $1$

$3 y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.3.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$3 y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.3.1.1.6

Multipliez $x y$ par $1$ .

$3 y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.3.1.1.7

Multipliez $x y$ par $1$ .

$3 y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$3 y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 y' (x (- x + y) - y (- x + y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.3.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + y$ .

$3 y' ((- x + y) (x - y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 y' (- x + y) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.4

Associez les exposants.

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Étape 5.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$3 y' (- (x) + y) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$3 y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- y)$ .

$3 y' (- (x - y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.4.4

Réécrivez $- (x - y)$ comme $- 1 (x - y)$ .

$3 y' (- 1 (x - y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.4.5

Supprimez les parenthèses.

$3 y' \cdot (- 1 (x - y) (x - y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.4.6

Élevez $x - y$ à la puissance $1$ .

$3 y' \cdot (- 1 ((x - y) (x - y))) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.4.7

Élevez $x - y$ à la puissance $1$ .

$3 y' \cdot (- 1 ((x - y) (x - y))) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 y' \cdot (- 1 {(x - y)}^{1 + 1}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 y' \cdot (- 1 {(x - y)}^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.4.10

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$ par $- 3 {(x - y)}^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$ par $- 3 {(x - y)}^{2}$ .

$\frac{- 3 y' {(x - y)}^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y' {(x - y)}^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de ${(x - y)}^{2}$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Étape 5.5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Étape 5.5.3.1.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $- 3$ .

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Étape 5.5.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x y$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Étape 5.5.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 {(x - y)}^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{3 (- {(x - y)}^{2})}$

Étape 5.5.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{3 (- {(x - y)}^{2})}$

Étape 5.5.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{2 x y}{- {(x - y)}^{2}}$

Étape 5.5.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$