Calcul infinitésimal Exemples

${(e^{- t} + e^{t})}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = e^{- t} + e^{t}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{- t} + e^{t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{- t} + e^{t}$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{- t} + e^{t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- t$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- t$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- t}$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- 1 \cdot e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- t}$ comme $- e^{- t}$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez ${(e^{- t} + e^{t})}^{2}$ comme $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ .

$3 ((e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.2

Développez $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (e^{- t} (e^{- t} + e^{t}) + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez $e^{- t}$ par $e^{- t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (e^{- t - t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.3.1.1.2

Soustrayez $t$ de $- t$ .

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $e^{- t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t + t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.3.1.2.2

Additionnez $- t$ et $t$ .

$3 (e^{- 2 t} + e^{0} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez $e^{0}$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.3.1.4

Multipliez $e^{t}$ par $e^{- t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t - t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.3.1.4.2

Soustrayez $t$ de $t$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{0} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.3.1.5

Simplifiez $e^{0}$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.3.1.6

Multipliez $e^{t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t + t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.3.1.6.2

Additionnez $t$ et $t$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (e^{- 2 t} + 2 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$(3 e^{- 2 t} + 3 \cdot 2 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Étape 6.6

Développez $(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$3 e^{- 2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \cdot - 1 e^{- 2 t} e^{- t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.2

Multipliez $e^{- 2 t}$ par $e^{- t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.2.1

Déplacez $e^{- t}$ .

$3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{- 2 t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \cdot - 1 e^{- t - 2 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.2.3

Soustrayez $2 t$ de $- t$ .

$3 \cdot - 1 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.4

Multipliez $e^{- 2 t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.4.1

Déplacez $e^{t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 (e^{t} e^{- 2 t}) + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{t - 2 t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.4.3

Soustrayez $2 t$ de $t$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{2 t} e^{- t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.7

Multipliez $e^{2 t}$ par $e^{- t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.7.1

Déplacez $e^{- t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{2 t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{- t + 2 t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.7.3

Additionnez $- t$ et $2 t$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Étape 6.7.9

Multipliez $e^{2 t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.9.1

Déplacez $e^{t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 (e^{t} e^{2 t})$

Étape 6.7.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{t + 2 t}$

Étape 6.7.9.3

Additionnez $t$ et $2 t$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

Étape 6.8

Soustrayez $6 e^{- t}$ de $3 e^{- t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

Étape 6.9

Soustrayez $3 e^{t}$ de $6 e^{t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$