Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{4} {(k + 8)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(k + 8)}^{2}$ comme $(k + 8) (k + 8)$ .

$(k + 8) (k + 8)$

Étape 1.2

Développez $(k + 8) (k + 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$k (k + 8) + 8 (k + 8)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot 8 + 8 (k + 8)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot 8 + 8 k + 8 \cdot 8$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $k$ par $k$ .

$k^{2} + k \cdot 8 + 8 k + 8 \cdot 8$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $8$ à gauche de $k$ .

$k^{2} + 8 \cdot k + 8 k + 8 \cdot 8$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $8$ par $8$ .

$k^{2} + 8 k + 8 k + 64$

Étape 1.3.2

Additionnez $8 k$ et $8 k$ .

$k^{2} + 16 k + 64$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 1}^{4} k^{2} + 16 k + 64$

Étape 2

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$1^{2} + 16 \cdot 1 + 64 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 + 16 \cdot 1 + 64 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.2

Multipliez $16$ par $1$ .

$1 + 16 + 64 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.3

Additionnez $1$ et $16$ .

$17 + 64 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.4

Additionnez $17$ et $64$ .

$81 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$81 + 4 + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.6

Multipliez $16$ par $2$ .

$81 + 4 + 32 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.7

Additionnez $4$ et $32$ .

$81 + 36 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.8

Additionnez $36$ et $64$ .

$81 + 100 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.9

Additionnez $81$ et $100$ .

$181 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$181 + 9 + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.11

Multipliez $16$ par $3$ .

$181 + 9 + 48 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.12

Additionnez $9$ et $48$ .

$181 + 57 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.13

Additionnez $57$ et $64$ .

$181 + 121 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.14

Additionnez $181$ et $121$ .

$302 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.15

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$302 + 16 + 16 \cdot 4 + 64$

Étape 3.16

Multipliez $16$ par $4$ .

$302 + 16 + 64 + 64$

Étape 3.17

Additionnez $16$ et $64$ .

$302 + 80 + 64$

Étape 3.18

Additionnez $80$ et $64$ .

$302 + 144$

Étape 3.19

Additionnez $302$ et $144$ .

$446$