Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{4} {(- \frac{3}{4})}^{k}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

${(- \frac{3}{4})}^{1} + {(- \frac{3}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Simplifiez

$- \frac{3}{4} + {(- \frac{3}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{3}{4} + 1 \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2.1.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{4^{3}} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{3^{3}}{4^{3}} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{4^{3}} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2.1.10

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2.1.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + {(- 1)}^{4} {(\frac{3}{4})}^{4}$

Étape 2.1.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + {(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Étape 2.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + 1 \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Étape 2.1.13

Multipliez $\frac{3^{4}}{4^{4}}$ par $1$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Étape 2.1.14

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{4^{4}}$

Étape 2.1.15

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{64}{64}$ .

$- (\frac{3}{4} \cdot \frac{64}{64}) + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{64}{64}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{9}{16}$ par $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} \cdot \frac{16}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{9}{16}$ par $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Étape 2.2.5

Multipliez $\frac{27}{64}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - (\frac{27}{64} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{81}{256}$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{27}{64}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Étape 2.2.7

Multipliez $4$ par $64$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Étape 2.2.8

Multipliez $16$ par $16$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} - \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Étape 2.2.9

Réorganisez les facteurs de $64 \cdot 4$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 64} + \frac{81}{256}$

Étape 2.2.10

Multipliez $4$ par $64$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} - \frac{27 \cdot 4}{256} + \frac{81}{256}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 \cdot 64 + 9 \cdot 16 - 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Multipliez $- 3$ par $64$ .

$\frac{- 192 + 9 \cdot 16 - 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Étape 2.4.2

Multipliez $9$ par $16$ .

$\frac{- 192 + 144 - 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 27$ par $4$ .

$\frac{- 192 + 144 - 108 + 81}{256}$

Étape 2.5

Additionnez $- 192$ et $144$ .

$\frac{- 48 - 108 + 81}{256}$

Étape 2.6

Soustrayez $108$ de $- 48$ .

$\frac{- 156 + 81}{256}$

Étape 2.7

Additionnez $- 156$ et $81$ .

$\frac{- 75}{256}$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{75}{256}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{75}{256}$

Forme décimale :

$- 0.29296875$