Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot 1$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 7

Divisez $1$ par $1$ .

$1$