Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.4

Réorganisez les facteurs de $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{1}$

Étape 4

Divisez $2 x \cos (x^{2})$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2})$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} x \cos (x^{2})$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{2})$

Étape 7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{2})$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cdot 0 \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{2})$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 \cdot \cos (0^{2})$

Étape 10.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Étape 10.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 10.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$