Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} {(1 + \frac{a}{x})}^{b x}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x} + \frac{a}{x})}^{b x}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x + a}{x})}^{b x}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\frac{x + a}{x})}^{b x}$ comme $e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{b x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{b x})}$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{b x})$ en déplaçant $b x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 8} e^{b x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 8} b x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Étape 3.2

Placez le terme $b$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x + a}{x})}$

Étape 3.4

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x + a}{x})}$

Étape 3.5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Étape 3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} a}{lim_{x \to 8} x})}$

Étape 3.7

Évaluez la limite de $a$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{b \cdot 8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{b \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{b \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + a}{8})}$

Étape 5

Déplacez $8$ à gauche de $b$ .

$e^{8 b \ln (\frac{8 + a}{8})}$