Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2}$ comme $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ .

$\int (\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Étape 1.2

Développez $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \tan (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $\tan (2 x) \tan (2 x)$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 1.3.1.1.2

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\tan (2 x)}^{1 + 1} + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.1.2.1

Remettez dans l’ordre $\tan (2 x)$ et $\cot (2 x)$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 1.3.1.2.2

Réécrivez $\tan (2 x) \cot (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \tan^{2} (2 x) + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 1.3.1.2.3

Annulez les facteurs communs.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.1.3.1

Réécrivez $\cot (2 x) \tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 1.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $\cot (2 x) \cot (2 x)$ .

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Étape 1.3.1.4.1

Élevez $\cot (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot (2 x) d x$

Étape 1.3.1.4.2

Élevez $\cot (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x) d x$

Étape 1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + {\cot (2 x)}^{1 + 1} d x$

Étape 1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{2} (2 x) d x$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 2 + \cot^{2} (2 x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \tan^{2} (2 x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \tan^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Étape 4

Associez $\tan^{2} (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Étape 6

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (u_{1})$ comme $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Étape 9

Comme la dérivée de $\tan (u_{1})$ est $\sec^{2} (u_{1})$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u_{1})$ est $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Étape 11

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 11.1

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 11.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 11.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 12

Associez $\cot^{2} (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \frac{\cot^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 13

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int \cot^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Étape 14

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cot^{2} (u_{2})$ comme $- 1 + \csc^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int - 1 + \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Étape 15

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Étape 16

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Étape 17

Comme la dérivée de $- \cot (u_{2})$ est $\csc^{2} (u_{2})$ , l’intégrale de $\csc^{2} (u_{2})$ est $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C - \cot (u_{2}) + C)$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Simplifiez

$- \frac{u_{1}}{2} + \frac{\tan (u_{1})}{2} + 2 x + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) + C$

Étape 18.2

Simplifiez

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Étape 18.2.1

Pour écrire $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 18.2.2

Associez $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

Étape 18.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

Étape 18.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Étape 18.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Étape 18.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + 1 (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Étape 18.2.6

Multipliez $- u_{2} - \cot (u_{2})$ par $1$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

Étape 19

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 19.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

Étape 19.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Réduisez l’expression $\frac{2 x}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 20.1.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Étape 20.1.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x}{1} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Étape 20.2

Divisez $x$ par $1$ .

$- x + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Étape 20.3

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Étape 20.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x + \frac{\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)}{2} + C$

Étape 21

Remettez les termes dans l’ordre.

$x + \frac{1}{2} (\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)) + C$