Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{{(x - 1)}^{2}}{x} d x$

Étape 1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\int \frac{(x - 1) (x - 1)}{x} d x$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x (x - 1) - 1 (x - 1)}{x} d x$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{x} d x$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$\int \frac{x \cdot x - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x^{1} x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Étape 7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x^{1} x^{1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{x^{1 + 1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int \frac{x^{2} - 1 x - 1 x + 1}{x} d x$

Étape 10

Soustrayez $1 x$ de $- 1 x$ .

$\int \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x} d x$

Étape 11

Divisez $x^{2} - 2 x + 1$ par $x$ .

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Étape 11.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 11.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Étape 11.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Étape 11.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Étape 11.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$

Étape 11.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$

Étape 11.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$

Étape 11.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					-	$2 x$	+	$0$

Étape 11.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x + 0$

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$0$

Étape 11.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$0$
							+	$1$

Étape 11.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int x - 2 + \frac{1}{x} d x$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 15

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \ln (| x |) + C$

Étape 16

Simplifiez

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \ln (| x |) + C$