Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x)} d x$

Étape 1.2

Factorisez $\sin^{3} (x)$ à partir de $\sin^{4} (x)$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \sin (x)} d x$

Étape 1.3

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)} d x$

Étape 1.4

Convertissez de $\frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)}$ à $\cot^{3} (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot^{3} (x) d x$

Étape 1.5

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\int \csc (x) \cot^{3} (x) d x$

Étape 2

Écrivez $\cot^{3} (x)$ comme $\cot (x) \cot^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) (\cot (x) \cot^{2} (x)) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cot^{2} (x)$ comme $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) \cot (x) (- 1 + \csc^{2} (x)) d x$

Étape 4

Laissez $u = \csc (x)$ . Alors $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , donc $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \csc (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Étape 4.1.3

Réorganisez les facteurs de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - (- 1 + u^{2}) d u$

Étape 5

Multipliez $- (- 1 + u^{2})$ .

$\int - - 1 - u^{2} d u$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$u + C - \int u^{2} d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 11

Simplifiez

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$\csc (x) - \frac{1}{3} \csc^{3} (x) + C$