Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(x^{2} + 5)}^{3} d x$

Étape 1

Développez ${(x^{2} + 5)}^{3}$ .

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Étape 1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\int {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

Étape 1.2

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

Étape 1.3

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

Étape 1.4

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

Étape 1.5

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5^{3} d x$

Étape 1.6

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot 5^{2} d x$

Étape 1.7

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

Étape 1.8

Déplacez $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 5 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

Étape 1.9

Déplacez $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

Étape 1.10

Déplacez $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

Étape 1.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Étape 1.12

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int x^{4} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Étape 1.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{4 + 2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Étape 1.14

Additionnez $4$ et $2$ .

$\int x^{6} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Étape 1.15

Multipliez $3$ par $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Étape 1.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{6} + 15 x^{2 + 2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Étape 1.17

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Étape 1.18

Multipliez $3$ par $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 15 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Étape 1.19

Multipliez $15$ par $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Étape 1.20

Multipliez $5$ par $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 25 \cdot 5 d x$

Étape 1.21

Multipliez $25$ par $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 125 d x$

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 125 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{6} d x + \int 15 x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 15 x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

Étape 4

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , placez $15$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 \int x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

Étape 6

Comme $75$ est constant par rapport à $x$ , placez $75$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 \int x^{2} d x + \int 125 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 125 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 125 x + C$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 125 x + C$

Étape 9.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 125 x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 125 x + C$

Étape 9.2

Simplifiez

$\frac{x^{7}}{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{7} x^{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$