Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x e^{3 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{3 x})$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{3 x}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.4.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$f' (x) = 2 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

Étape 1.4.5

Multipliez $e^{3 x}$ par $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Étape 1.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 6 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$

Étape 1.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$ .

$f' (x) = 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x e^{3 x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 6 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$f'' (x) = 6 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Étape 2.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Étape 2.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Étape 2.2.8

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Étape 2.2.9

Multipliez $e^{3 x}$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{3 x})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x))$

Étape 2.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} \cdot 3)$

Étape 2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (3 \cdot e^{3 x})$

Étape 2.3.7

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 6 e^{3 x}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x})) + 6 e^{3 x} + 6 e^{3 x}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$f'' (x) = 18 (x (e^{3 x})) + 6 e^{3 x} + 6 e^{3 x}$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $6 e^{3 x}$ et $6 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 18 x e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 18 e^{3 x} x + 12 e^{3 x}$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $18 e^{3 x} x + 12 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 18 x e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $18 x e^{3 x} + 12 e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [18 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [12 e^{3 x}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (18 x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x e^{3 x}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f''' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$f''' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Étape 3.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Étape 3.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Étape 3.2.8

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Étape 3.2.9

Multipliez $e^{3 x}$ par $1$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 e^{3 x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 \frac{d}{d x} (e^{3 x})$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x))$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x))$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x))$

Étape 3.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} \cdot 3)$

Étape 3.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (3 \cdot e^{3 x})$

Étape 3.3.7

Multipliez $3$ par $12$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 36 e^{3 x}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x})) + 18 e^{3 x} + 36 e^{3 x}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $3$ par $18$ .

$f''' (x) = 54 (x (e^{3 x})) + 18 e^{3 x} + 36 e^{3 x}$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $18 e^{3 x}$ et $36 e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 54 x e^{3 x} + 54 e^{3 x}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 54 e^{3 x} x + 54 e^{3 x}$

Étape 3.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $54 e^{3 x} x + 54 e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 54 x e^{3 x} + 54 e^{3 x}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $54 x e^{3 x} + 54 e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [54 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [54 e^{3 x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (54 x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [54 x e^{3 x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Comme $54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $54 x e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $54 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f^{4} (x) = 54 \frac{d}{d x} (x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 54 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Étape 4.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Étape 4.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Étape 4.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Étape 4.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Étape 4.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Étape 4.2.8

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Étape 4.2.9

Multipliez $e^{3 x}$ par $1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [54 e^{3 x}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $54 e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $54 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 \frac{d}{d x} (e^{3 x})$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x))$

Étape 4.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x))$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x))$

Étape 4.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Étape 4.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} \cdot 3)$

Étape 4.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (3 \cdot e^{3 x})$

Étape 4.3.7

Multipliez $3$ par $54$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 162 e^{3 x}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x})) + 54 e^{3 x} + 162 e^{3 x}$

Étape 4.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $3$ par $54$ .

$f^{4} (x) = 162 (x (e^{3 x})) + 54 e^{3 x} + 162 e^{3 x}$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $54 e^{3 x}$ et $162 e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$

Étape 4.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{4} (x) = 162 e^{3 x} x + 216 e^{3 x}$

Étape 4.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $162 e^{3 x} x + 216 e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$ .

$162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$