Calcul infinitésimal Exemples

$y = (7 x^{2} - 1) (2 x^{3} + x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 7 x^{2} - 1$ et $g (x) = 2 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x^{3} + x) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Étape 1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Étape 1.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Étape 1.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} (7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 1.2.7

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 1.2.9

Multipliez $2$ par $7$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 1.2.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + 0)$

Étape 1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.11.1

Additionnez $14 x$ et $0$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x)$

Étape 1.2.11.2

Déplacez $14$ à gauche de $2 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 \cdot ((2 x^{3} + x) x)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (14 (2 x^{3}) + 14 x) x$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.6

Associez des termes.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $6$ par $7$ .

$f' (x) = 42 x^{2} x^{2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.6.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f' (x) = 42 (x^{2} x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 42 x^{2 + 2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.6.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.6.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.6.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.6.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.6.6

Additionnez $- 6 x^{2}$ et $7 x^{2}$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.6.7

Multipliez $2$ par $14$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{3} x + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.6.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 (x \cdot x^{3}) + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.6.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{1 + 3} + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.6.10

Additionnez $1$ et $3$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x \cdot x$

Étape 1.3.6.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

Étape 1.3.6.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

Étape 1.3.6.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{1 + 1}$

Étape 1.3.6.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{2}$

Étape 1.3.6.15

Additionnez $42 x^{4}$ et $28 x^{4}$ .

$f' (x) = 70 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 x^{2}$

Étape 1.3.6.16

Additionnez $x^{2}$ et $14 x^{2}$ .

$f' (x) = 70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [70 x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (70 x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [70 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $70$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $70 x^{4}$ par rapport à $x$ est $70 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 70 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 70 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $70$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $15$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $280 x^{3} + 30 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $280 x^{3} + 30 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [280 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (280 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [280 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $280$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $280 x^{3}$ par rapport à $x$ est $280 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f''' (x) = 280 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f''' (x) = 280 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $280$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $30$ par $1$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $840 x^{2} + 30$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [840 x^{2}] + \frac{d}{d x} [30]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (840 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [840 x^{2}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $840$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $840 x^{2}$ par rapport à $x$ est $840 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 840 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 840 (2 x) + \frac{d}{d x} (30)$

Étape 4.2.3

Multipliez $2$ par $840$ .

$f^{4} (x) = 1680 x + \frac{d}{d x} (30)$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 1680 x + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $1680 x$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 1680 x$