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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 1.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.5
Associez et .
Étape 1.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.7
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.7.1
Multipliez par .
Étape 1.7.2
Soustrayez de .
Étape 1.8
Associez les fractions.
Étape 1.8.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.8.2
Associez et .
Étape 1.8.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.8.4
Associez et .
Étape 1.9
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.10
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.11
Additionnez et .
Étape 1.12
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.13
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.14
Associez les fractions.
Étape 1.14.1
Multipliez par .
Étape 1.14.2
Associez et .
Étape 1.14.3
Associez et .
Étape 1.15
Élevez à la puissance .
Étape 1.16
Élevez à la puissance .
Étape 1.17
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.18
Additionnez et .
Étape 1.19
Factorisez à partir de .
Étape 1.20
Annulez les facteurs communs.
Étape 1.20.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.20.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.20.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.21
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.22
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.23
Multipliez par .
Étape 1.24
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.25
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.26
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 1.26.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.26.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.26.3
Additionnez et .
Étape 1.26.4
Divisez par .
Étape 1.27
Simplifiez .
Étape 1.28
Soustrayez de .
Étape 1.29
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 2
Étape 2.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 2.2
Multipliez les exposants dans .
Étape 2.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.2.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.2.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.3
Simplifiez
Étape 2.4
Différenciez.
Étape 2.4.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.4.4
Multipliez par .
Étape 2.4.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.6
Additionnez et .
Étape 2.5
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.5.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.5.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.5.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.7
Associez et .
Étape 2.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.9
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.9.1
Multipliez par .
Étape 2.9.2
Soustrayez de .
Étape 2.10
Associez les fractions.
Étape 2.10.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.10.2
Associez et .
Étape 2.10.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.11
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.12
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.13
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.14
Multipliez par .
Étape 2.15
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.16
Simplifiez les termes.
Étape 2.16.1
Additionnez et .
Étape 2.16.2
Associez et .
Étape 2.16.3
Associez et .
Étape 2.16.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.17
Annulez les facteurs communs.
Étape 2.17.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.17.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.17.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.18
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.19
Multipliez par .
Étape 2.20
Multipliez par .
Étape 2.21
Simplifiez
Étape 2.21.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.21.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 2.21.1.2
Multipliez par .
Étape 2.21.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.21.1.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.21.1.3.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.21.1.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.21.1.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.21.1.5
Associez et .
Étape 2.21.1.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.21.1.7
Réécrivez en forme factorisée.
Étape 2.21.1.7.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.21.1.7.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.21.1.7.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.21.1.7.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.21.1.7.2
Associez les exposants.
Étape 2.21.1.7.2.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.21.1.7.2.1.1
Déplacez .
Étape 2.21.1.7.2.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.21.1.7.2.1.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.21.1.7.2.1.4
Additionnez et .
Étape 2.21.1.7.2.1.5
Divisez par .
Étape 2.21.1.7.2.2
Simplifiez .
Étape 2.21.1.8
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.21.1.8.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.21.1.8.2
Multipliez par .
Étape 2.21.1.8.3
Multipliez par .
Étape 2.21.1.8.4
Soustrayez de .
Étape 2.21.1.8.5
Additionnez et .
Étape 2.21.2
Associez des termes.
Étape 2.21.2.1
Réécrivez comme un produit.
Étape 2.21.2.2
Multipliez par .
Étape 2.21.2.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.21.2.3.1
Multipliez par .
Étape 2.21.2.3.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.21.2.3.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.21.2.3.2
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 2.21.2.3.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.21.2.3.4
Additionnez et .
Étape 3
Étape 3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 3.3
Multipliez les exposants dans .
Étape 3.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 3.3.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.3.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.3.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.4
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 3.5
Différenciez.
Étape 3.5.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.5.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.5.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.5.4
Additionnez et .
Étape 3.6
Élevez à la puissance .
Étape 3.7
Élevez à la puissance .
Étape 3.8
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.9
Différenciez en utilisant la règle de puissance.
Étape 3.9.1
Additionnez et .
Étape 3.9.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.9.3
Simplifiez en ajoutant des termes.
Étape 3.9.3.1
Multipliez par .
Étape 3.9.3.2
Additionnez et .
Étape 3.10
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.10.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.10.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.10.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.11
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.12
Associez et .
Étape 3.13
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.14
Simplifiez le numérateur.
Étape 3.14.1
Multipliez par .
Étape 3.14.2
Soustrayez de .
Étape 3.15
Associez les fractions.
Étape 3.15.1
Associez et .
Étape 3.15.2
Associez et .
Étape 3.16
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.17
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.18
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.19
Multipliez par .
Étape 3.20
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.21
Associez les fractions.
Étape 3.21.1
Additionnez et .
Étape 3.21.2
Multipliez par .
Étape 3.21.3
Associez et .
Étape 3.21.4
Multipliez par .
Étape 3.21.5
Associez et .
Étape 3.22
Élevez à la puissance .
Étape 3.23
Élevez à la puissance .
Étape 3.24
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.25
Additionnez et .
Étape 3.26
Factorisez à partir de .
Étape 3.27
Annulez les facteurs communs.
Étape 3.27.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.27.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.27.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.27.4
Divisez par .
Étape 3.28
Factorisez à partir de .
Étape 3.28.1
Remettez dans l’ordre et .
Étape 3.28.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.28.3
Factorisez à partir de .
Étape 3.28.4
Factorisez à partir de .
Étape 3.29
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.29.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.29.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.30
Simplifiez
Étape 3.31
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 3.32
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.32.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.32.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.32.3
Associez et .
Étape 3.32.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.32.5
Simplifiez le numérateur.
Étape 3.32.5.1
Multipliez par .
Étape 3.32.5.2
Soustrayez de .
Étape 3.33
Associez et .
Étape 3.34
Simplifiez
Étape 3.34.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.34.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.34.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 3.34.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.34.3.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 3.34.3.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.34.3.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.34.3.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.34.3.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 3.34.3.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.34.3.1.2.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.34.3.1.2.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.34.3.1.2.1.2.1
Déplacez .
Étape 3.34.3.1.2.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.34.3.1.2.1.2.3
Additionnez et .
Étape 3.34.3.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 3.34.3.1.2.1.4
Multipliez par .
Étape 3.34.3.1.2.1.5
Multipliez par .
Étape 3.34.3.1.2.1.6
Multipliez par .
Étape 3.34.3.1.2.2
Additionnez et .
Étape 3.34.3.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.34.3.1.4
Simplifiez
Étape 3.34.3.1.4.1
Multipliez par .
Étape 3.34.3.1.4.2
Multipliez par .
Étape 3.34.3.1.4.3
Multipliez par .
Étape 3.34.3.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.34.3.1.5.1
Déplacez .
Étape 3.34.3.1.5.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.34.3.1.5.3
Additionnez et .
Étape 3.34.3.1.6
Multipliez par .
Étape 3.34.3.1.7
Multipliez par .
Étape 3.34.3.1.8
Multipliez par .
Étape 3.34.3.2
Associez les termes opposés dans .
Étape 3.34.3.2.1
Additionnez et .
Étape 3.34.3.2.2
Additionnez et .
Étape 3.34.3.2.3
Soustrayez de .
Étape 3.34.3.2.4
Soustrayez de .
Étape 3.34.4
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4
Étape 4.1
Différenciez en utilisant la règle multiple constante.
Étape 4.1.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2
Appliquez les règles de base des exposants.
Étape 4.1.2.1
Réécrivez comme .
Étape 4.1.2.2
Multipliez les exposants dans .
Étape 4.1.2.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 4.1.2.2.2
Multipliez .
Étape 4.1.2.2.2.1
Associez et .
Étape 4.1.2.2.2.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.2.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 4.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.4
Associez et .
Étape 4.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.6
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.6.1
Multipliez par .
Étape 4.6.2
Soustrayez de .
Étape 4.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.8
Associez et .
Étape 4.9
Simplifiez l’expression.
Étape 4.9.1
Déplacez à gauche de .
Étape 4.9.2
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 4.9.3
Multipliez par .
Étape 4.10
Associez et .
Étape 4.11
Multipliez par .
Étape 4.12
Factorisez à partir de .
Étape 4.13
Annulez les facteurs communs.
Étape 4.13.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.13.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.13.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.14
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.15
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.16
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.17
Multipliez par .
Étape 4.18
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.19
Associez les fractions.
Étape 4.19.1
Additionnez et .
Étape 4.19.2
Associez et .
Étape 4.19.3
Multipliez par .
Étape 4.19.4
Associez et .
Étape 4.19.5
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 5
La dérivée quatrième de par rapport à est .