Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{- x} + e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{- x} + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 1.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 1.2.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 1.2.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = - e^{- x} + e^{x}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 2.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 2.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

Étape 2.3.9

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 3.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 3.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f''' (x) = e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 3.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f''' (x) = e^{x} - e^{- x}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 4.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 4.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 4.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 4.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 4.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$

Étape 4.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

Étape 4.3.9

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$