Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de 1/(x-x^2) par rapport à x
Étape 1
Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.
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Étape 1.1
Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.
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Étape 1.1.1
Factorisez à partir de .
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Étape 1.1.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.5
Multipliez par .
Étape 1.1.2
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 1.1.3
Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est .
Étape 1.1.4
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.1.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.5
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.1.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.6
Simplifiez chaque terme.
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Étape 1.1.6.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.1.6.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.6.1.2
Divisez par .
Étape 1.1.6.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.6.3
Multipliez par .
Étape 1.1.6.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.1.6.5
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.1.6.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.6.5.2
Divisez par .
Étape 1.1.7
Simplifiez l’expression.
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Étape 1.1.7.1
Déplacez .
Étape 1.1.7.2
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.1.7.3
Déplacez .
Étape 1.2
Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.
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Étape 1.2.1
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 1.2.2
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 1.2.3
Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.
Étape 1.3
Résolvez le système d’équations.
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Étape 1.3.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.3.2
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
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Étape 1.3.2.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 1.3.2.2
Simplifiez le côté droit.
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Étape 1.3.2.2.1
Multipliez par .
Étape 1.3.3
Résolvez dans .
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Étape 1.3.3.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.3.3.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.3.4
Résolvez le système d’équations.
Étape 1.3.5
Indiquez toutes les solutions.
Étape 1.4
Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans par les valeurs trouvées pour et .
Étape 1.5
Supprimez le zéro de l’expression.
Étape 2
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 3
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 4
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
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Étape 4.1
Laissez . Déterminez .
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Étape 4.1.1
Réécrivez.
Étape 4.1.2
Divisez par .
Étape 4.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 5
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 6
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 7
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 8
Simplifiez
Étape 9
Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, .
Étape 10
Remplacez toutes les occurrences de par .