Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x^{3} \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec (t) \tan (t)$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $\sec (t) \tan (t)$ à partir de $\sec^{3} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) (\sec^{2} (t))} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) \sec^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)}$ comme ${(\frac{1}{\sec (t)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (t)})}^{2} d t$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Étape 2.2.2.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int {(1 \cos (t))}^{2} d t$

Étape 2.2.2.5

Multipliez $\cos (t)$ par $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Étape 3

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 7

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 8

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 10

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 12

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 12.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 12.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Étape 12.3

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (x))) + C$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 arcsec (x))$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}) + C$

Étape 13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Étape 13.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $arcsec (x)$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Étape 13.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

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Étape 13.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2 \cdot 2} + C$

Étape 13.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{4} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{4} \sin (2 arcsec (x)) + C$