Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x^{3}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 3 \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $9 \tan^{2} (t)$ comme ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 (\sec (t)))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 (\sec (t))$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{3^{3} \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $27$ .

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \tan (t)$ .

$\int \frac{3 (\tan (t))}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{3 (\tan (t))}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.5

Associez $3$ et $\frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.6

Associez $\sec (t)$ et $\frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)} \tan (t) d t$

Étape 2.2.7

Associez $\frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)}$ et $\tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t)) \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Étape 2.2.8

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Étape 2.2.9

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Étape 2.2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{\sec (t) (3 {\tan (t)}^{1 + 1})}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Étape 2.2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Étape 2.2.12

Déplacez $3$ à gauche de $\sec (t)$ .

$\int \frac{3 \cdot \sec (t) \tan^{2} (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Étape 2.2.13

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 2.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sec (t) \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Étape 2.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

Étape 2.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

Étape 2.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{3 \sec^{3} (t)} d t$

Étape 2.2.14

Annulez le facteur commun à $\sec (t)$ et $\sec^{3} (t)$ .

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Étape 2.2.14.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec (t) \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{3 \sec^{3} (t)} d t$

Étape 2.2.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.14.2.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $3 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

Étape 2.2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

Étape 2.2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\tan^{2} (t)}{3 \sec^{2} (t)} d t$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)} d t$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)}$ comme ${(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2} d t$

Étape 4.2

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Étape 4.3

Réécrivez $\tan (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Étape 4.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cos (t))}^{2} d t$

Étape 4.5

Écrivez $\cos (t)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 4.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

Étape 4.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) d t$

Étape 5

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (t)$ en $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{6} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{6} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{6} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Étape 11

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 11.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 11.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 11.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 12

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 13

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Étape 14

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 15

Simplifiez

$\frac{1}{6} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 16.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Étape 16.3

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))) + C$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Associez $\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Étape 17.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Étape 17.3

Associez $\frac{1}{6}$ et $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Étape 17.4

Multipliez $\frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2})$ .

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Étape 17.4.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{6 \cdot 2} + C$

Étape 17.4.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{12} + C$

Étape 18

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{12} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$