Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\cos^{3} (x)} d x$

Étape 1.2

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $\cos^{3} (x)$ .

$\int \frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\cos^{2} (x) \cos (x)} d x$

Étape 1.3

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

Étape 1.4

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (x)} \tan^{2} (x) d x$

Étape 1.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Étape 2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \tan^{2} (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{1} (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sec^{1} (x) \cdot - 1 + \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

$\int - \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x$

Étape 7

L’intégrale de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x$

Étape 8

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{3} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 9

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sec (x)$ et $d v = \sec^{2} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Étape 10

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Étape 11

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Étape 12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Étape 13

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Étape 13.2

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (x)$ et $\sec (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Étape 14

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Étape 15

Simplifiez en multipliant.

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Étape 15.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Étape 15.3

Remettez dans l’ordre $\sec (x)$ et $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Étape 16

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Étape 17

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Étape 18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Étape 19

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Étape 20

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Étape 21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Étape 22

Additionnez $2$ et $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Étape 23

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Étape 24

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Étape 25

L’intégrale de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Étape 26

Simplifiez en multipliant.

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Étape 26.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Étape 26.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Étape 27

En résolvant $\int \sec^{3} (x) d x$ , nous trouvons que $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Étape 28

Multipliez $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ par $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Étape 29

Simplifiez

$- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + \frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$