Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{3}}} d x$

Étape 2

Laissez $x = 2 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.6

Appliquez la règle de produit à $4 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.7

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.8

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Étape 3.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.9

Réécrivez $64 \cos^{6} (t)$ comme ${(8 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(8 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{8 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 \cos (t)$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $2 \cos (t)$ à partir de $8 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 (\sin (t)))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{2^{2} \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Étape 3.2.2.5

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ à $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Étape 4

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 7

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Étape 8

Simplifiez

$- t + \tan (t) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{2}) + \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) + \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$