Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1 - y^{2}}{3 y} d y$

Étape 1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - y^{2}}{y} d y$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $1$ et $- y^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- y^{2} + 1}{y} d y$

Étape 3

Divisez $- y^{2} + 1$ par $y$ .

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Étape 3.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Étape 3.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- y^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

				-	$y$
	$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$

Étape 3.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$0$

Étape 3.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- y^{2} + 0$

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$

Étape 3.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

Étape 3.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Étape 3.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{1}{3} \int - y + \frac{1}{y} d y$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} (\int - y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (- \int y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d y)$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

Étape 8.2

Simplifiez

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |)) + C$