Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{4} + 8}{x^{3}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{4} + 8) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} + 8) x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int (x^{4} + 8) x^{- 3} d x$

Étape 2

Multipliez $(x^{4} + 8) x^{- 3}$ .

$\int x^{4} x^{- 3} + 8 x^{- 3} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{- 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{4 - 3} + 8 x^{- 3} d x$

Étape 3.1.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\int x^{1} + 8 x^{- 3} d x$

Étape 3.2

Simplifiez $x^{1}$ .

$\int x + 8 x^{- 3} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int 8 x^{- 3} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 8 x^{- 3} d x$

Étape 6

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 \int x^{- 3} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 8.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 8.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} x^{2} + 8 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 8 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 8.3.2

Associez $- 8$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{- 8}{2 x^{2}} + C$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 8.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{2}} + C$

Étape 8.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{2})} + C$

Étape 8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{2}} + C$

Étape 8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{- 4}{x^{2}} + C$

Étape 8.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{4}{x^{2}} + C$