Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{6} (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $u^{6}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{6})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u$

Étape 2.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 6}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$

Étape 4

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Étape 4.1

Réécrivez $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$ comme $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$

Étape 4.2

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{5}}$ par $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C$

Étape 4.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{5 \sin^{5} (x)} + C$

Étape 6

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Étape 6.1

Multipliez par $1$ .

$- \frac{1}{5 (\sin^{5} (x) \cdot 1)} + C$

Étape 6.2

Séparez les fractions.

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{5} (x)}) + C$

Étape 6.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{5} (x)}$ à $\csc^{5} (x)$ .

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \csc^{5} (x)) + C$

Étape 6.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$- (\frac{1}{5} \csc^{5} (x)) + C$

Étape 6.5

Associez $\frac{1}{5}$ et $\csc^{5} (x)$ .

$- \frac{\csc^{5} (x)}{5} + C$

Étape 6.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{5} \csc^{5} (x) + C$