Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{\sqrt[3]{t}} d t$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{t}$ comme $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{t^{\frac{1}{3}}} d t$

Étape 2

Retirez $t^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (27 t^{3} - 1) {(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d t$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d t$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{- 1}{3}} d t$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}} d t$

Étape 4

Développez $(27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 27 t^{3} t^{- \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 27 t^{3 - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Étape 4.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Étape 4.4

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int 27 t^{\frac{9 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Étape 4.6.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Étape 6

Comme $27$ est constant par rapport à $t$ , placez $27$ en dehors de l’intégrale.

$27 \int t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{8}{3}}$ par rapport à $t$ est $\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - \int t^{- \frac{1}{3}} d t$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $t$ est $\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - (\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$27 (\frac{3}{11}) t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Associez $27$ et $\frac{3}{11}$ .

$\frac{27 \cdot 3}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $27$ par $3$ .

$\frac{81}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$