Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{x \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = x^{2} + 1$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u_{1} = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 2} d u_{1}$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{2 u_{1}} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Étape 5.3

Multipliez $\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$ par $1$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , donc $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Différenciez $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 8

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Étape 8.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x^{2} + 1) + C$