Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de (3x^2-10)/(x^2-4x+4) par rapport à x
Étape 1
Divisez par .
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Étape 1.1
Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de .
-++-
Étape 1.2
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
-++-
Étape 1.3
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-++-
+-+
Étape 1.4
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
-++-
-+-
Étape 1.5
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-++-
-+-
+-
Étape 1.6
La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.
Étape 2
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 3
Appliquez la règle de la constante.
Étape 4
Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.
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Étape 4.1
Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.
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Étape 4.1.1
Factorisez la fraction.
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Étape 4.1.1.1
Factorisez à partir de .
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Étape 4.1.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.1.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.1.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.1.2
Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.
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Étape 4.1.1.2.1
Réécrivez comme .
Étape 4.1.1.2.2
Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.
Étape 4.1.1.2.3
Réécrivez le polynôme.
Étape 4.1.1.2.4
Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait , où et .
Étape 4.1.2
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 4.1.3
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 4.1.4
Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est .
Étape 4.1.5
Annulez le facteur commun de .
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Étape 4.1.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.1.5.2
Divisez par .
Étape 4.1.6
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.1.7
Multipliez.
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Étape 4.1.7.1
Multipliez par .
Étape 4.1.7.2
Multipliez par .
Étape 4.1.8
Simplifiez chaque terme.
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Étape 4.1.8.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 4.1.8.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.1.8.1.2
Divisez par .
Étape 4.1.8.2
Annulez le facteur commun à et .
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Étape 4.1.8.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.8.2.2
Annulez les facteurs communs.
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Étape 4.1.8.2.2.1
Multipliez par .
Étape 4.1.8.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.1.8.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.1.8.2.2.4
Divisez par .
Étape 4.1.8.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.1.8.4
Déplacez à gauche de .
Étape 4.1.9
Remettez dans l’ordre et .
Étape 4.2
Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.
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Étape 4.2.1
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 4.2.2
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 4.2.3
Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.
Étape 4.3
Résolvez le système d’équations.
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Étape 4.3.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 4.3.2
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
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Étape 4.3.2.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 4.3.2.2
Simplifiez le côté droit.
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Étape 4.3.2.2.1
Multipliez par .
Étape 4.3.3
Résolvez dans .
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Étape 4.3.3.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 4.3.3.2
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
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Étape 4.3.3.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 4.3.3.2.2
Additionnez et .
Étape 4.3.4
Résolvez le système d’équations.
Étape 4.3.5
Indiquez toutes les solutions.
Étape 4.4
Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans par les valeurs trouvées pour et .
Étape 4.5
Supprimez le zéro de l’expression.
Étape 5
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 6
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 7
Laissez . Puis . Réécrivez avec et .
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Étape 7.1
Laissez . Déterminez .
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Étape 7.1.1
Différenciez .
Étape 7.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 7.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 7.1.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 7.1.5
Additionnez et .
Étape 7.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 8
Appliquez les règles de base des exposants.
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Étape 8.1
Retirez du dénominateur en l’élevant à la puissance .
Étape 8.2
Multipliez les exposants dans .
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Étape 8.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 8.2.2
Multipliez par .
Étape 9
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 10
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 11
Laissez . Puis . Réécrivez avec et .
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Étape 11.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1.1
Différenciez .
Étape 11.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 11.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 11.1.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 11.1.5
Additionnez et .
Étape 11.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 12
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 13
Simplifiez
Étape 14
Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.
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Étape 14.1
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 14.2
Remplacez toutes les occurrences de par .