Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x$

Étape 1

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Étape 2

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Évaluez $\ln (| \sin (x) |)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Étape 3.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |)$

Étape 3.2.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Étape 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ est d’environ $0.70710678$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Étape 3.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Étape 3.3.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $1$ .

$\ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Forme décimale :

$0.34657359 \dots$