Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sec^{4} (5 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 5 x$ . Alors $d u_{1} = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\sec^{4} (u_{1})$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$\frac{1}{5} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ comme $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (u_{1})$ comme $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{5} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{5} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (5 x)) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\tan^{3} (5 x)$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{\tan^{3} (5 x)}{3}) + C$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

Étape 12.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $\tan (5 x)$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

Étape 12.4

Associez.

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1 \tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

Étape 12.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.5.1

Multipliez $\tan^{3} (5 x)$ par $1$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

Étape 12.5.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{15} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{15} \tan^{3} (5 x) + C$