Calcul infinitésimal Exemples

$\int \tan^{5} (x) \sec^{7} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\tan^{4} (x)$ .

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Étape 2.2

Réécrivez ${\tan (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Étape 4

Laissez $u = \sec (x)$ . Alors $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int {(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6} d u$

$\int {(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6} d u$

Étape 5

Développez ${(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez ${(- 1 + u^{2})}^{2}$ comme $(- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2})$ .

$\int (- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2}) u^{6} d u$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (- 1 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2}) u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Étape 5.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Étape 5.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} \cdot - 1 u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Étape 5.8

Remettez dans l’ordre $u^{2}$ et $- 1$ .

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 \cdot u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Étape 5.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Étape 5.10

Multipliez $u^{6}$ par $1$ .

$\int u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Étape 5.11

Factorisez le signe négatif.

$\int u^{6} - (u^{2} u^{6}) - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Étape 5.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{6} - u^{2 + 6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Étape 5.13

Additionnez $2$ et $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Étape 5.14

Factorisez le signe négatif.

$\int u^{6} - u^{8} - (u^{2} u^{6}) + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Étape 5.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{2 + 6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Étape 5.16

Additionnez $2$ et $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Étape 5.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2 + 2} u^{6} d u$

Étape 5.18

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4} u^{6} d u$

Étape 5.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4 + 6} d u$

Étape 5.20

Additionnez $4$ et $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{10} d u$

Étape 5.21

Soustrayez $u^{8}$ de $- u^{8}$ .

$\int u^{6} - 2 u^{8} + u^{10} d u$

Étape 5.22

Remettez dans l’ordre $- 2 u^{8}$ et $u^{10}$ .

$\int u^{6} + u^{10} - 2 u^{8} d u$

Étape 5.23

Déplacez $u^{6}$ .

$\int u^{10} - 2 u^{8} + u^{6} d u$

$\int u^{10} - 2 u^{8} + u^{6} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{10} d u + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{10}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Étape 8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 \int u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{8}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \int u^{6} d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{u^{9}}{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Étape 11.2

Simplifiez

$\frac{u^{11}}{11} - \frac{2 u^{9}}{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

$\frac{u^{11}}{11} - \frac{2 u^{9}}{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{11} (x)}{11} - \frac{2 \sec^{9} (x)}{9} + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{11} \sec^{11} (x) - \frac{2}{9} \sec^{9} (x) + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$