Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de sin(x)^4cos(x)^2 par rapport à x
Étape 1
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 2
Simplifiez en factorisant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2
Réécrivez comme une élévation à une puissance.
Étape 3
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 4
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Différenciez .
Étape 4.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.4
Multipliez par .
Étape 4.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 5
Simplifiez en multipliant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.1
Multipliez par .
Étape 5.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2
Simplifiez en utilisant la commutativité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Réécrivez comme un produit.
Étape 5.2.2
Réécrivez comme un produit.
Étape 5.3
Développez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.
Étape 5.3.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.6
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.8
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.9
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.10
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.11
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.12
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.13
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.14
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.15
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.16
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.17
Déplacez .
Étape 5.3.18
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.19
Déplacez .
Étape 5.3.20
Déplacez .
Étape 5.3.21
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.22
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.23
Déplacez .
Étape 5.3.24
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.25
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.26
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.27
Déplacez .
Étape 5.3.28
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.29
Déplacez .
Étape 5.3.30
Déplacez .
Étape 5.3.31
Déplacez .
Étape 5.3.32
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.33
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.34
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.35
Déplacez .
Étape 5.3.36
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.37
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.38
Déplacez .
Étape 5.3.39
Déplacez .
Étape 5.3.40
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.41
Déplacez .
Étape 5.3.42
Déplacez .
Étape 5.3.43
Déplacez .
Étape 5.3.44
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.45
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.46
Déplacez .
Étape 5.3.47
Déplacez .
Étape 5.3.48
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.49
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.50
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.51
Déplacez .
Étape 5.3.52
Déplacez .
Étape 5.3.53
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.54
Déplacez .
Étape 5.3.55
Déplacez .
Étape 5.3.56
Déplacez .
Étape 5.3.57
Déplacez .
Étape 5.3.58
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.59
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.60
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.61
Déplacez .
Étape 5.3.62
Déplacez .
Étape 5.3.63
Multipliez par .
Étape 5.3.64
Multipliez par .
Étape 5.3.65
Multipliez par .
Étape 5.3.66
Multipliez par .
Étape 5.3.67
Multipliez par .
Étape 5.3.68
Multipliez par .
Étape 5.3.69
Multipliez par .
Étape 5.3.70
Multipliez par .
Étape 5.3.71
Multipliez par .
Étape 5.3.72
Multipliez par .
Étape 5.3.73
Multipliez par .
Étape 5.3.74
Multipliez par .
Étape 5.3.75
Multipliez par .
Étape 5.3.76
Associez et .
Étape 5.3.77
Multipliez par .
Étape 5.3.78
Multipliez par .
Étape 5.3.79
Associez et .
Étape 5.3.80
Multipliez par .
Étape 5.3.81
Associez et .
Étape 5.3.82
Associez et .
Étape 5.3.83
Multipliez par .
Étape 5.3.84
Multipliez par .
Étape 5.3.85
Associez et .
Étape 5.3.86
Multipliez par .
Étape 5.3.87
Associez et .
Étape 5.3.88
Associez et .
Étape 5.3.89
Multipliez par .
Étape 5.3.90
Associez et .
Étape 5.3.91
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.92
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.93
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.3.94
Additionnez et .
Étape 5.3.95
Soustrayez de .
Étape 5.3.96
Soustrayez de .
Étape 5.3.97
Multipliez par .
Étape 5.3.98
Multipliez par .
Étape 5.3.99
Associez et .
Étape 5.3.100
Associez et .
Étape 5.3.101
Multipliez par .
Étape 5.3.102
Associez et .
Étape 5.3.103
Multipliez par .
Étape 5.3.104
Multipliez par .
Étape 5.3.105
Associez et .
Étape 5.3.106
Associez et .
Étape 5.3.107
Multipliez par .
Étape 5.3.108
Associez et .
Étape 5.3.109
Multipliez par .
Étape 5.3.110
Associez et .
Étape 5.3.111
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.112
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.113
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.3.114
Additionnez et .
Étape 5.3.115
Multipliez par .
Étape 5.3.116
Multipliez par .
Étape 5.3.117
Multipliez par .
Étape 5.3.118
Associez et .
Étape 5.3.119
Multipliez par .
Étape 5.3.120
Multipliez par .
Étape 5.3.121
Associez et .
Étape 5.3.122
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.123
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.124
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.3.125
Additionnez et .
Étape 5.3.126
Multipliez par .
Étape 5.3.127
Multipliez par .
Étape 5.3.128
Multipliez par .
Étape 5.3.129
Multipliez par .
Étape 5.3.130
Associez et .
Étape 5.3.131
Multipliez par .
Étape 5.3.132
Multipliez par .
Étape 5.3.133
Associez et .
Étape 5.3.134
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.135
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.136
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.3.137
Additionnez et .
Étape 5.3.138
Multipliez par .
Étape 5.3.139
Multipliez par .
Étape 5.3.140
Associez et .
Étape 5.3.141
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.142
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.3.143
Additionnez et .
Étape 5.3.144
Additionnez et .
Étape 5.3.145
Additionnez et .
Étape 5.3.146
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.147
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.148
Déplacez .
Étape 5.3.149
Remettez dans l’ordre et .
Étape 6
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 7
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 8
Factorisez .
Étape 9
Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire comme .
Étape 10
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.1
Différenciez .
Étape 10.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 10.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 11
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 12
Appliquez la règle de la constante.
Étape 13
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 14
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 15
Associez et .
Étape 16
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 17
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 18
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 19
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 20
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 20.1
Multipliez par .
Étape 20.2
Multipliez par .
Étape 21
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 22
Appliquez la règle de la constante.
Étape 23
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 23.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 23.1.1
Différenciez .
Étape 23.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 23.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 23.1.4
Multipliez par .
Étape 23.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 24
Associez et .
Étape 25
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 26
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 27
Appliquez la règle de la constante.
Étape 28
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 29
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 30
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 31
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 31.1
Simplifiez
Étape 31.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 31.2.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 31.2.2
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 31.2.2.1
Multipliez par .
Étape 31.2.2.2
Multipliez par .
Étape 31.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 31.2.4
Déplacez à gauche de .
Étape 31.2.5
Additionnez et .
Étape 32
Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.1
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 32.2
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 32.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 32.4
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 33
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 33.1
Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 33.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 33.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 33.1.3
Annulez le facteur commun.
Étape 33.1.4
Réécrivez l’expression.
Étape 33.2
Multipliez par .
Étape 33.3
Associez et .
Étape 34
Remettez les termes dans l’ordre.