Calcul infinitésimal Exemples

$\int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Étape 1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \sec^{1} (x) d x$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int - 1 \sec^{1} (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

$\int - \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x$

Étape 6

L’intégrale de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x$

Étape 7

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{3} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 8

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sec (x)$ et $d v = \sec^{2} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Étape 9

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Étape 10

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Étape 12.2

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (x)$ et $\sec (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Étape 13

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Étape 14

Simplifiez en multipliant.

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Étape 14.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Étape 14.3

Remettez dans l’ordre $\sec (x)$ et $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Étape 15

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Étape 16

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Étape 17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Étape 18

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Étape 19

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Étape 20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Étape 21

Additionnez $2$ et $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Étape 22

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Étape 23

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Étape 24

L’intégrale de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Étape 25

Simplifiez en multipliant.

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Étape 25.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Étape 25.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Étape 26

En résolvant $\int \sec^{3} (x) d x$ , nous trouvons que $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Étape 27

Multipliez $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ par $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Étape 28

Simplifiez

$- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + \frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$