Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x$

Étape 1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \ln (u) d u$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = \ln (u)$ et $dv = 1$ .

$\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $u$ et $\frac{1}{u}$ .

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (u) u - \int d u$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (u) u - (u + C)$

Étape 5

Simplifiez

$\ln (u) u - u + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$\ln (\ln (x)) \ln (x) - \ln (x) + C$